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O Contador de Areia

 

INTRODUÇÃO

Este trabalho não trata acerca das soluções ou esquemas matemáticos que nos foram deixados por Arquimedes, génio siracusano do séc. II A.C., e que foram muitos e de vasto alcance, nem como resolver problemas levantados pela sua inquieta mente, mas sim quais foram as motivações que o levaram a procurar encontrar a unidade de medida de tudo quanto de material existe, tentando provar que até mesmo uma personalidade como ele, que aparentemente tinha antes de tudo uma preocupação do visível ou do abstracto mas no sentido de alimentar a mente concreta (que só se preocupa em satisfazer a sua própria sede de conhecimento), inadvertidamente ou não, se prestou a servir de veículo de transmissão a conceitos extremamente importantes para o desenvolvimento do ciência dos números, não só para os seus contemporâneos, mas para nós em pleno séc. XXI.

À semelhança de Sócrates, que provavelmente não seria iniciado nos mistérios (não seguindo aquilo que é comummente designado por via do discipulado), mas ainda assim possuía uma sapiência e moral ímpares que o impeliam a se deixar levar completamente pela tarefa de formar jovens, e verter a água do seu saber para que pudessem brotar as flores de uma reforma ética e educacional, Arquimedes, embora sem o sentido de instrução que imbuía Sócrates, e possuído por um “Daimon Matemático”, sente também a necessidade de exteriorizar todos os números estáticos e em movimento na sua cabeça, que de certa forma intui como sendo a base do manifestado, embora se deixe enredar pela intricada teia gerada pela supracitada sede de saber mais e mais, perdendo pelo caminho a noção de que, tal como a harmonia que percebemos por trás de uma bela melodia e a representação desta nas notas numa pauta são duas coisas distintas, os números ou os símbolos que os representam são diferentes dos conceitos ou aspectos que lhes deram origem. Um número tem vida para além da quantidade de objectos que representa, pois ele não é somente válido quando aparece por associação. Por exemplo, o número 5 tem uma realidade para além dos cinco livros que representa ou das cinco pombas, porque o que representa esse número é uma entidade própria, um conceito para lá do conjunto que representa.

Porque se em vez do algarismo “5” lhe tivesse sido atribuído um outro, continuaríamos a perceber aquilo que caracteriza o símbolo, como se através dele nos chegasse a corrente de energia vinda directamente do seu próprio arquétipo.

Necessitamos de experimentar e de tocar em tudo antes de aprendermos que, o mais importante é invisível aos olhos e, tal como diz Saint-Exupéry, o importante só se vê bem com o coração (in “O Principezinho”).
Teremos de pensar que, para aquelas gerações que nos seguirem, o que queremos deixar quando representamos uma peça de arte, uma ideia, uma descoberta: é provavelmente o momento exacto em que se atinge o clímax emocional e que dará a abertura necessária para dar lugar na alma dessas pessoas àquilo que lhes queríamos transmitir, como faziam os Gregos da época Clássica com a estatuária e demais arte, que não só representando de forma magistral sentimentos, pensamentos, davam a ideia do movimento da dinâmica necessária para atingir esses momentos.

No seu início a "Álgebra" correspondeu a um salto de abstracção matemática em relação à Aritmética (pois lidava com coeficientes simbólicos, por oposição a números concretos). Esta vocação original de abstracção ganhou grande impulso desde o século XIX, e modernamente, a Álgebra consiste no estudo de estruturas matemáticas abstractas e das relações entre essas estruturas. Alguns exemplos importantes são os grupos (que abstraem as propriedades das simetrias de figuras geométricas regulares, por exemplo), anéis (que abstraem as propriedades dos números inteiros ou polinómios, por exemplo) ou corpos (que abstraem as propriedades dos números racionais, reais e complexos, por exemplo).

Hoje em dia, surgem estruturas deste tipo em todas as áreas da matemática e alguns desenvolvimentos importantes situam-se, para além da Teoria dos Números, também na Geometria Algébrica e na Topologia Algébrica, as quais permitem entender determinadas propriedades de espaços usando conceitos da Álgebra,
Isto é para representar, por exemplo um cubo, geometricamente o faríamos assim:

contador de areia

Mas para o representar através de notação numérica, teríamos de nos valer de um certo grau de abstracção e simbolizar o espaço tridimensional que, ocupa aquela figura através de coordenadas precisas (x,y,z, dando a origem) que fizessem com que, o cubo aparecesse na nossa cabeça sem ser necessário desenhá-lo, e isto é engenhoso porque nos permite percepcionar uma realidade que, para nós só existe de forma virtual, que é o mesmo que dizer mental, baseando-nos nas tradições que dizem que o Universo é mental, porque nasceu de uma inteligência superior que se baseou em esquemas geométricos para criar o mundo manifestado.

GEOMETRIA

A área da Matemática designada por Geometria dedica-se ao estudo de relações espaciais e de formas de corpos. É uma das disciplinas mais antigas da Matemática, havendo registo de considerações para determinação de áreas já desde a Babilónia. No entanto, foram os Gregos que deram, quer à Geometria, quer à Matemática uma contribuição fundamental ao introduzir justificações cuidadas, a partir de postulados, das propriedades geométricas que estabeleceram. Estas propriedades referiam-se a relações entre ângulos e proporcionalidade de lados de figuras geométricas, à construção destas figuras e à expressão de áreas e volumes. A contribuição grega para a geometria encontra-se expressa nos 13 livros que constituem os Elementos de Euclides. Mais uma vez sublinha-se, que a contribuição fundamental grega consiste na forma sistemática como a Matemática é abordada, havendo cuidado em definir conceitos e em estabelecer propriedades a partir de postulados.

A descoberta no século XIX de que, a geometria euclidiana não era a única concebível, o estudo de outras geometrias e a caracterização do espaço-tempo do mundo físico por uma geometria diferente da geometria euclidiana, teve um impacto profundo no mundo científico. No contexto da Geometria levou à caracterização lógica das geometrias, ao estudo de "espaços" mais gerais e mais abstractos (mas com aplicação, por exemplo, em Física Teórica) e, também, à caracterização de geometrias e figuras geométricas em termos algébricos (usando Teoria de Grupos).

MOTIVAÇÕES

A abelha constrói seus alvéolos com a forma de prismas hexagonais e adopta essa forma geométrica, segundo penso, para obter a sua casa com a maior economia possível de material. A geometria existe, por toda parte. É preciso, porém, olhos para vê-la, inteligência para compreende-la e alma para admira-la.

Para aqueles que, possuíam um conhecimento mais profundo sobre a verdadeira essência dos números, estes detinham em si um significado oculto e, mais importante do que a sua racionalização, entender o que realmente simbolizavam era uma tarefa de maior relevância.

Pitágoras (que utilizou o termo mathema “fazer ciência” para descrever os seus estudos no campo da figuração numérica) diz a este respeito que as coisas são números e não magnitudes geométricas, afirmava que aquelas só o são enquanto números cujas propriedades estão ligadas aos destas.

Não distinguia entre corpo físico e corpo geométrico (associando determinadas figuras a estados de aperfeiçoamento, como por exemplo o Sol, que detinha uma forma arredondada por esta ser geometricamente exemplar) e portanto a forma é a figura do número e o corpo são o conjunto de pontos que em conjunto formam aparências belas.

Penso verdadeiramente que Arquimedes ainda se encontrava preso da racionalização dos conceitos matemáticos, embora tendesse para uma abstracção que, era mais de preenchimento das ideias num plano concreto, ou como entretenimento dos sentidos só para provar quão longe pode ir esta racionalização e não tanto para encontrar a Unidade que é deveras a Alma do universo como defendiam Pitágoras e Platão.

Não é do conhecimento público qualquer obra de Arquimedes acerca das sua invenções ou máquinas por ele inventadas, e, a verdade é que não nos chegaram até nós provas de que tenha escrito algo sobre isso, levando-nos a pensar que estes grandes empreendimentos serviriam unicamente como maneiras de comprovar os conceitos abstractos que tanto gostava de estudar, como o pode provar uma passagem da sua obra Da Quadratura da Parábola: …”teorema de que ninguém se ocupou até agora e que quis examinar. O descobri primeiramente através de considerações mecânicas e depois por raciocínio geométrico.”

Segundo Plutarco (Obra e Vida de Marcelo) Arquimedes teria construído máquinas de guerra de uma tal magnitude que, com pouca intervenção de parte de quem as manejava, estas criavam uma onda de destruição, ao ponto de devastar uma grande parte da frota com que, os romanos pretendiam sitiar Siracusa (cidade natal de Arquimedes e na qual vivia à altura do pretenso ataque). Mas a não ser por estes relatos externos, nenhuma referência a isto nos foi deixada por Arquimedes, o que pode provar que, para este, esses mecanismos corromperiam e eram indignos do real objectivo do estudo da geometria.

Outro exemplo, é o chamado mecanismo de Antikythera, descoberto no princípio do séc. XX e que hoje sabe-se ser um instrumento que teria servido para medição ou cálculos astronómicos, um pouco no seguimento do Planetário construído por Arquimedes e ao qual se atribui a hipotética construção.

contador de areia

 

Uma das maiores provas de que Arquimedes partia de princípios que, provinham de arquétipos ou modelos superiores que intuía de alguma forma, é que partia de axiomas, como o fez Euclides para formular a sua obra Elementos e que é a forma lógica usada em Matemática para basear todas as teorias posteriores, para conseguir saber qual o volume de um sólido composto por uma superfície curva como se vê na figura, dando o conceito de que dentro de essa mesmo sólido podem existir um número infinito de planos, que reduzidos a uma constante e sabendo a sua área nos fornecem o resultado do seu volume.

 

 

 

 

contador de areia

 

Por exemplo, para um cone, só necessitamos de traçar um triângulo com a mesma base e a mesma altura do cone e realizar um movimento de rotação com este para obtermos o dito sólido, e medirmos o seu volume, e, adaptando este resultado e tendo em consideração as forças na natureza que actuam sobre um corpo com esta forma no mundo concreto, não haveria limites para a automatização de processos mecânicos, ciência que Arquimedes teria dominado e que Leonardo da Vinci também elevou a uma escala de grandeza extraordinária.

 

 

Partindo do que se denomina de um triângulo gerador que se reflecte, cria uma figura geométrica, à semelhança dos sólidos platónicos, mas sem a perfeição destes, pois já não são regulares (todos os segmentos que os compõe são iguais), pois na realidade trunca ou suprime uma das suas partes para formar um poliedro não regular e por conseguinte menos perfeito, é levado a conceber uma forma de representar o infinito não impalpável, mas sim como uma forma de circunscrever o finito e o que levou também aos matemáticos a quem se deve a Geometria não Euclidiana a perceber que fora de um plano é possível que uma recta tenha uma quantidade infindável de rectas paralelas a esta que passem unicamente por um ponto fora desta, concebendo um Universo curvo, base da teoria da relatividade de Einstein:

contador de areia contador de areia contador de areia

 

CONCLUSÃO
 
Arquimedes lançou as bases para o cálculo integral, a hidrostática, determinou o centro de gravidade do segmento parabólico, estabeleceu o conceito rigoroso de momento estático, calculou a área e volume de corpos delimitados por superfícies curvas e deixou todo um horizonte à descoberta de todos quantos quisessem prosseguir o seu caminho, como de resto nos diz no início da sua obra O Método, supostamente perdida durante séculos e recuperada no início do séc. XX: “… para que não se creia que disse palavra vãs e porque estou igualmente persuadido de que farei um não pequeno serviço aos Matemáticos, pois compreendo que alguns dos meus contemporâneos ou sucessores poderá por através do método, uma vez que o explique, descobrir outros teoremas que eu não encontrei ainda”

O seu trabalho com o volume das esferas possibilitou aos cientistas que apareceram depois dele calcular o peso do sol, da Terra e da Lua, os seus diâmetros e as distâncias em termos de órbitas.
A sua obra e as conclusões que nos deixou são vitais, embora à sua linha de pensamento deve ser acrescentado uma idealização geométrica mais do tipo filosófico, visto que uma coisa é o que entendemos por numeração e outra é a relação que os símbolos que a representam têm entre si, para formar um todo (como um puzzle).

O conceito de infinito que nos deixou na obra Arenário remete-nos para Giordano Bruno, filósofo esquecido do renascimento e do seu Universo infinito, com sua consequente infinita quantidade de mundos e grãos de areia nas praias destes mesmos.

Se diz que morreu às mãos de um soldado Romano, pedindo que este o deixasse acabar a reflexão sobre o problema em que estava envolvido, tal como uma criança pediria à mãe para o deixar brincar só mais um pouco antes de tomar banho e ir para a cama.

Daniel Oliveira

 

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