Os Pequenos Parâmetros das Grandes Catástrofes 

Estamos acostumados à estabilidade e ao constante. Caminhamos pela dura superfície da Terra e cremos que esta nos servirá sempre de apoio. Sabemos que logo depois do Inverno chegará o Verão, haverá calor e Sol, e será sempre assim. Pensamos que o mundo que nos rodeia não pode mudar repentinamente e partindo daqui formamos o nosso modo de vida e as nossas prioridades, planeamos as nossas acções.

Este habitual “quotidiano” ponto de vista acerca do equilíbrio do nosso mundo encontrou o seu reflexo na ciência do séc. XVIII quando se estavam a criar as ciências naturais clássicas. A linguagem do cálculo diferencial e integral converteu-se no fundamento destas: considerava-se que todas as dependências podiam ser descritas mediante funções contínuas, para as quais é característica uma pequena mudança no valor da função quando os incrementos dos argumentos são pequenos. Pareceria lógico: realiza-se um pouco mais de esforço, e obtém-se um resultado um pouco maior… E mais, se os modelos matemáticos não cumpriam com esta condição eram considerados incorretos e, por conseguinte, carentes de conteúdo real.

Mas… Uma breve rotação de um interruptor põe em acção os mecanismos de direcção que abrem as comportas de uma represa, as poderosas correntes de água embatem nas hélices das turbinas de um gerador forçando a rodar o eixo que pesa toneladas. Um suave golpe num detonador provoca uma explosão que liberta uma energia comparável com a energia de uma pequena estrela. Existem também na natureza exemplos de processos, não provocados pelo homem, nos quais como resultado de uma pequena acção despertam forças muitas vezes mais poderosas: uma pequena pedra pode provocar uma derrocada numa montanha, uma terrível, pelas suas consequências, avalanche de neve e inclusivamente um sismo. A ciência e a tecnologia descobriram muitos exemplos de grandes mudanças de um sistema quando as acções (forças actuantes) são pequenas, mas, por estranho que pareça, até há muito pouco tempo isto não influenciava nas nossas ideias acerca do mundo que nos rodeia.

Mesmo na antiguidade, por exemplo na Antiga Grécia, entre os filósofos existiam ideias de que toda a natureza vive e se desenvolve graças à proporcionalidade e harmonia de enormes forças (das contradições), que se encontram em equilíbrio. A alteração deste equilíbrio pode destruir todo o mundo. A harmonia das contradições faz parte das responsabilidades dos deuses e eles fazem grandes esforços para a manter. Recordemos o mito sobre Faeton, o qual pediu ao seu pai Hélios para este lhe dar a carroça celestial como prova da sua origem divina. As mãos do mortal não puderam conter os cavalos celestiais, este não pôde levar a carroça pelo caminho seguro, onde os raios do Sol não queimam a Terra mas tampouco deixam que se congele. As consequências não se fizeram esperar:

Cobriu-se de gretas a terra

E penetrou por elas a luz até ao Tártaro

Enchendo de horror o rei e a rainha das profundezas.

Contraiu-se o mar. Onde ontem estava este

Um vale de areia há agora,

Elevam-se montanhas cobertas antes pela água…

 

 (260) Dissilit omne solum, penetratque in Tartara rimis

lumen et infernum terret cum coniuge regem.

Et mare contrahitur, siccaeque est campus harenae

quod modo pontus erat: quosque altum texerat aequor,

exsistunt montes et sparsas …

Ovídio, Metamorfose

Para retirar o mundo do caos foi necessária a intervenção da divindade suprema, Zeus, que restituiu a ordem.

Os filósofos da antiguidade compreendiam que inclusivamente pequenas mudanças que alterem a harmonia podem mudar substancialmente o mundo, submergir este no caos. Durante muitos séculos, as leis desta harmonia ocuparam a sua atenção, porque viam nela uma manifestação da vontade divina que mantém a ordem o mundo. Começando pelos Pitagóricos, que descobriram que estas leis podem ser escritas numa linguagem numérica e com figuras geométricas, a matemática começou a ser utilizada como meio de refletir os processos ideais da natureza, em que todas as contradições são proporcionais e equilibram-se umas às outras. É possível que isto explique a obstinada falta de desejo dos matemáticos “clássicos” de estudar os modelos matemáticos instáveis, nos quais é possível que o equilíbrio se altere bruscamente.

Só no século XX apareceram trabalhos em que com seriedade se falava sobre estas instabilidades que eram tão reais como o estado de harmonia. Compreendeu-se que qualquer sistema ao desenvolver-se passa por etapas de restruturação, de mudanças bruscas, durante as quais se realiza um reagrupamento de forças, se reorganiza o equilíbrio. Estas etapas caracterizam-se por um predomínio temporal de uma das forças, o que conduz ao caos que destrói a estrutura anterior; logo depois ocorre uma harmonização, restabelece-se o equilíbrio, mas já num novo estado, qualitativamente diferente.

Uma das teorias matemáticas que descrevem as mudanças bruscas, é a Teoria das Catástrofes. Como disciplina científica esta apareceu nos anos 70 do século passado. Uma qualidade importante desta teoria é que não exige modelos matemáticos detalhados e pode descrever situações, não “quantitativamente” mas “qualitativamente”, além disso os seus resultados e conclusões são ilustrados mediante modelos geométricos simples.

Esta “claridade” da teoria das catástrofes conduziu a um rápido crescimento do número de publicações e paralelamente a trabalhos sérios dedicados, por exemplo, ao equilíbrio dos barcos, à descrição dos fenómenos psicológicos e dos processos sociais e económicos, apareceram também trabalhos de carácter médio em forma de brincadeira. Citaremos um dos exemplos deste uso “especulativo” do método da teoria das catástrofes que explica de um modo evidente a sua essência.

Mas antes explicaremos em que ideias está fundamentada esta teoria. Suponhamos que necessitamos de descrever a dependência de certa magnitude x de dois parâmetros: μ1 e μ2. Para isto é cómodo utilizar um gráfico desta dependência que se representa como uma certa superfície “suspensa” sobre o plano dos parâmetros: dois valores numéricos dos parâmetros definem um ponto no plano e a altura à qual se encontra a superfície sobre este ponto determina o valor da magnitude em estudo. Por razões gerais e em correspondência com o estabelecido nas teorias clássicas consideraremos que a superfície é suave; esta pode ser representada como uma folha de papel ondulada sem cortes nem descontinuidade

A dependência não terá singularidades se a cada valor dos parâmetros corresponder apenas um ponto da superfície, é o caso quando a nossa folha de papel não tem dobras. Se, pelo contrário, há pregas, então, são possíveis singularidades de dois tipos. Uma delas denomina-se precisamente assim, “dobra”, e está representada.

A segunda obtém-se quando duas dobras se encontram num ponto (no planos dos parâmetros). Esta é denominada “prega. A projecção da “prega” no plano dos parâmetros está denotada pela letra B.

Sublinhamos que, em princípio, não podem haver outras singularidades aparte das mencionadas, todas as outras apenas podem ser combinações destes simplicíssimos elementos. Uma “catástrofe”, ou seja, uma mudança brusca dos valores da magnitude x sucede, por exemplo, quando se vão mudando os valores do parâmetro μ1 ao longo da recta A1-A2. Não obstante é possível obter outro comportamento qualitativo se forem mudados os parâmetros num entorno do ponto B.

Voltemos ao exemplo prometido. Este pertence ao matemático inglês K. Ziman e aparece citado no notável e conhecido livro de V. Arnold, A Teoria das Catástrofes. Trata-se da descrição da actividade criativa de um cientista. A magnitude L carateriza os seus logros em dependência do seu interesse (entusiasmo) e o seu domínio da técnica e da sua experiência como investigador (parâmetro T).

Se o interesse não é grande, então os ganhos crescem lenta e monotonamente ao crescer a experiência profissional. Se o interesse é alto surgem fenómenos qualitativamente novos: ao crescer o profissionalismo os ganhos podem crescer dando um salto. Esta “catástrofe” é de todo desejável. A região dos ganhos significativos pode neste caso ser designada mediante a palavra “génios”. Na fig. 4 este caso corresponde a um deslocamento do ponto 1 até ao ponto 2.

Por outro lado se o crescimento do interesse não está reforçado pelo correspondente crescimento do profissionalismo, ocorre uma catástrofe em todo o sentido da palavra: os ganhos caem a pique e situamo-nos na região denominada pelo termo “maníacos”. Na fig. 4 isto sucede se nos movemos do ponto 3 até ao ponto 4. É interessante ver que os saltos do estado “génios” ao estado “maníacos” realizam-se em curvas diferentes e quando os valores da técnica e do interesse são iguais, se o valor do interesse é suficientemente grande, um génio e um maníaco diferenciam-se apenas pelo nível dos seus ganhos.

Notemos que um salto nos ganhos (fig. 3) tem lugar para diferentes valores dos parâmetros dependendo se nos movermos da esquerda para a direita, ou da direita para a esquerda ao longo da recta A1-A2. Este é o assim denominado nó de histerese, que demonstra que se por causa de uma perda de interesse sofremos uma catástrofe ao nível dos ganhos, então para que estes voltem ao mesmo nível anterior, é necessário um maior interesse do que o que se tinha antes do salto.

Apesar de todo o atractivo e claridade intuitiva de deduções semelhantes à que acabamos de citar, os matemáticos profissionais são muito cépticos relativamente à fundamentação de construções deste tipo. Não obstante, também há resultados mais rigorosos no que se refere, por exemplo, aos problemas matemáticos do equilíbrio dos processos que se desenvolvem no tempo.

A teoria das catástrofes explica, a um nível qualitativo, muitos fenómenos. E é aqui, por exemplo, que se pode explicar a possibilidade de uma mudança brusca na situação ecológica no nosso Planeta. Para simplificar introduzamos um certo parâmetro generalizado x que caracteriza a qualidade da situação em análise desde o ponto de vista ecológico, por exemplo o conteúdo médio de substâncias nocivas na atmosfera. Por analogia com a mecânica, para a qual todos os corpos tendem a possuir uma energia potencial mínima, suponhamos que só são realizáveis (possíveis) aqueles valores de x para os quais certa função toma o seu valor mínimo. Seguindo esta analogia, denominemos essa função de “potencial”

Suponhamos que em certas condições a dependência do potencial relativamente a x é representado pelo gráfico da fig. 5a (as condições que determinam o carácter desta dependência ficam “fora do quadro”). Pequenas perturbações do sistema, condicionadas, por exemplo, pela actividade humana, apenas podem variar pouco na contaminação atmosférica: o estado estável encontra-se num dos pontos de mínimo local na parte inferior do gráfico da fig. 5a (o sistema “assentou-se” nesse ponto firmemente, como uma pesada bola que rodou no fundo de um buraco). Ao mesmo tempo a passagem do sistema a um estado perigoso – a um mínimo local vizinho, que corresponde a um estado de maior contaminação – é praticamente impossível: para isso é necessário um impulso muito grande que obrigue o sistema (na nossa analogia, uma bola pesada) a vencer a alta barreira que separa estes pontos mínimos.

No entanto, se as condições mudam (por exemplo, se se acumulam os resíduos da produção industrial) o carácter da dependência do potencial relativamente a x pode mudar e tomar a forma representada na fig. 5b. Neste caso mesmo um pequeno impulso pode obrigar o sistema a “cair” para um estado estável com um alto nível de contaminação atmosférica. Uma mudança assim pode produzir-se rapidamente, em poucos anos.

A teoria das catástrofes, conjuntamente com outras teorias contemporâneas dos sistemas dinâmicos, mudou já num grau significativo as ideias habituais sobre a estabilidade e a inércia do mundo. Graças a ela, hoje entendemos melhor (queremos acreditar nisto) a nossa responsabilidade pelas alterações possíveis na harmonia e equilíbrio das forças naturais contraditórias, as que conduzem ao crescimento indiscriminado da produção industrial na sociedade de consumo. Na actualidade levantam-se ainda mais vozes a favor da realização de uma revisão dos valores no mundo contemporâneo e, seguindo o exemplo dos sábios da antiguidade, voltar novamente a valorizar mais a beleza e a proporcionalidade do que a abundância material. Já que, se isto não suceder, então poderiam chegar a ser verdadeiramente proféticas as palavras do criador da teoria das catástrofes, o cientista francês René Tom: “É possível que se chegue a demonstrar a inevitabilidade de certas catástrofes, por exemplo, das doenças ou da morte. O conhecimento não será obrigatoriamente uma promessa de êxito ou sobrevivência: este também nos pode dar a segurança da nossa derrota, do nosso fim”.

Mas, paralelamente a tão sombrias perspectivas, esta teoria abre também outras possibilidades. Efectivamente, se, enquanto nos convencemos, em determinadas condições pequenos esforços podem conduzir a grandes resultados, há uma razão para não deixar cair os braços inclusivamente nas situações mais difíceis, já que é possível que a aparente carência de solução seja apenas um sinal de uma “catástrofe” que se aproxima e nos promete um novo período de auge.

A história brinda-nos com muitos exemplos de quando em momentos críticos o destino dos povos dependia das decisões de um homem e se este conseguia “sentir o momento”, compreender a necessidade de uma ou outra acção, então começava uma nova época, descobriam-se novas perspectivas, levavam-se a cabo grandes ideias. Assim, Péricles voltando os ideais de unidade e harmonia, logo após a terrível destruição causada pelas guerras greco-persas, conduziu a Ática ao século de ouro da era clássica, quando foram criadas obras perfeitas – esculturas, templos, concepções científicas e filosóficas – às quais também agora nos remetemos como a etalons[1]. Na época de Péricles criaram as suas obras os grandes Fídias, Anaxágoras, Heródoto. Nos tempos de Péricles reconstruiu-se novamente a Acrópole, que se converteu no exemplo do belo por muitos séculos. Deste mesmo modo, dezanove séculos depois, Cozimo Medici ao prestar apoio ao interesse que surgiu pela cultura da antiguidade deu início ao Renascimento – época que mudou radicalmente a vida da Europa medieval.

Em vista de que em determinadas situações – nos pontos de catástrofe – mesmo os movimentos mais imperceptíveis podem influenciar o desenvolvimento dos acontecimentos, resulta muito útil saber determinar se o sistema se encontra próximo de um ponto assim. Formalmente, para isto é conveniente estudar a dependência do sistema relativamente aos parâmetros externos nos modelos matemáticos, no entanto na prática encontram-se com frequência casos em que o investigador não tem inclusivamente a mais leve ideia de quais são as equações de evolução que descrevem o desenvolvimento do sistema. Não obstante, inclusive nestas situações, patológicas desde o ponto de vista da modelação matemática, podem ser assinalados indícios indirectos de que o sistema em estudo se encontra próximo de um ponto de catástrofe.

Trata-se das assim denominadas “bandeiras de catástrofes” – singularidades no comportamento do sistema pelas quais se pode julgar sobre a proximidade de um ponto crítico. Enumeramos algumas delas que muito frequentemente se encontram juntas:

  • Presença de vários estados (estáveis) distintos,
  • Existência de estados instáveis dos quais o sistema sai mediante débeis “empurrões”,
  • Possibilidade de uma rápida mudança do sistema com uma variação mínima de condições externas,
  • Irreversibilidade do sistema (impossibilidade de voltar às condições anteriores),
  • Histerese, que já analisamos anteriormente no exemplo de “génios” e “maníacos”.

Para ilustrar estas situações pode-se citar uma grande quantidade de exemplos da física, mas remetamo-nos a exemplos da “vida real”. Todos nós ao terminar a escola secundária nos vimos frente à necessidade de eleger o nosso futuro caminho na vida. A primeira “bandeira de catástrofe” – presença de distintos estados estáveis – manifesta-se no facto de podermos ter várias, diferentes e atractivas (para nós) variantes de ocupação. Estas podem ser vários institutos nos quais podemos entrar (nos últimos anos na Federação da Rússia, graças às olimpíadas de entrada nos centros de educação superior, um aluno no momento em que termina a escola pode já estar matriculado em vários institutos), várias empresas que estão dispostas a dar-nos emprego, etc.. Ao lado desta “bandeira” está presente a segunda – estados instáveis – lugares nos quais com segurança não ficamos muito tempo. A terceira “bandeira”: ao tomarmos uma decisão e convertermo-nos, por exemplo, em estudantes experimentamos uma mudança rápida – tanto externamente (muda o nosso estatuto social, aparece, ainda que em pouca quantidade, o nosso próprio dinheiro), como internamente (amadurecemos rapidamente). Quarta “bandeira”: depois de termos eleito é praticamente impossível voltar para trás – para que nos expulsem do primeiro curso, antes do período de exames, há que fazer algo “grandioso”. Mas se nos expulsam, então simplesmente não nos admitirão de volta e haverá que esperar as condições apropriadas – novos exames para ingressar. Esta é a quinta “bandeira de catástrofe”.

Como uma “bandeira de catástrofe” mais serve a denominada “desaceleração crítica”: quando muitos esforços não conduzem a nenhuma mudança visível da situação. Esta bandeira foi içada no caminho histórico dos povos da ex-URSS nos anos 80 quando colossais investimentos feitos na economia, por exemplo na agricultura, se perdiam, como água na areia, sem causar nenhuma mudança importante.

Não é difícil dar-se conta que se um investigador se encontra numa destas “bandeiras”, então os parâmetros de direcção podem mudar de tal modo que seja possível encontrar também as outras “bandeiras”, que deverão manifestar-se obrigatoriamente se as condições forem adequadas. Na verdade, no exemplo que citamos, onde se tinha que escolher um instituto, não há que obrigatoriamente experimentar e inclusivamente não é recomendável fazê-lo, supondo que não desejamos sacrificar-nos para confirmar a teoria. Mas noutras condições, para se assegurar de que na realidade o estado do sistema pode experimentar um forte salto, faz sentido procurar um conjunto mais representativo de “bandeiras de catástrofes”.

A teoria das catástrofes é uma disciplina matemática e por si mesma não pode prevenir uma degradação brusca da situação nem assegurar uma rápida saída de um estancamento. Mas como qualquer outra teoria permite compreender mais profundamente a essência das coisas, fenómenos e processo do mundo real. Do ponto de vista matemático uma catástrofe não é obrigatoriamente, em absoluto, a perda de todas as esperanças ou alguma desgraça, esta é uma violenta reconstrução do sistema, um salto qualitativo do seu estado: uma viragem inesperada do caminho da vida, uma revolução social, um boom económico, etc.. E é importante, no umbral destas situações críticas, encontrar o caminho adequado que não deixe “estancar-se” numa crise. Nisto os sinais do destino ajudam – as ”bandeiras das catástrofes”- que advertem a quem sabe lê-los que chegou o momento apropriado de dar um vertiginoso salto para cima. Mas se se deixa escapar o momento, estender-se-ão diante deles caminhos perdidos, enredados e tortuosos…

 

Aleksey Choulichov

2001, Rússia


[1] De etalon, um aparelho óptico que contém espelhos paralelos, usado no design a laser para retardar a luz.